¿QUE ES MATEMÁTICAS?

 Ciencia que trata de la cantidad, sea en abstracto (matemáticas puras), sea con relación a objetos o fenómenos determinados (matemáticas mixtas o aplicadas). 

Las matemáticas son una de las ciencias más antiguas, y más útiles. 

¿HISTORIA DE LAS MATEMÁTICAS?

La historia de la matemática se inicia con el descubrimiento que el hombre realiza en su propio cuerpo del primer módulo para medir y contar.

Esta necesidad lo llevó a la creación de sistemas  de numeración que inicialmente se componían con la utilización de los dedos, piernas, o piedras.

DESDE  LA CIVILIZACIONES MAS ANTIGUAS LAS MATEMÁTICAS

*-La Civilización Egipcio, los egipcios inventaron el primer sistema de numeración, basado en la implementación de jeroglíficos. El sistema de numeración egipcio, se basaba en sustituir los números clave (1, 10, 100...), con figuras (palos, lazos, figuras humanas...), los demás números eran escritos por la superposición de estas mismas figuras, pero en clave. Este sistema es la pauta para lo que hoy conocemos como el sistema romano a, llevaba la pauta con el avance.

El avance algebraico de los egipcios, dio como resultado la resolución a ecuaciones de tipo. 

x+ax= b

* En la Antigua Babilonia, la solución al problema de contar los objetos, se vio resuelto con la implementación  de un método  sexagesimal. Este método tenía la particularidad de escribir un mismo signo como la representación de varios números diferenciados por el enunciado del problema.

* Civilizaciones como la China Antigua, y la India Antigua, utilizaron un sistema decimal jeroglífico, con la cualidad de que estas implementaron el número cero.

* La Civilización China sin duda tuvo que ver en gran medida en el avance matemático. Su aporte principal se basaba en la creación del "método del elemento celeste", desarrollado por Chou Shi Hié, con el cual era posible la resolución de raíces enteras y racionales, e incluso aproximaciones decimales para ecuaciones de la forma Pn(x)=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+ao.

* En la Antigua Mesopotania, se introduce el concepto de número inverso, además de las soluciones a distintos problemas logarítmicos, e incluso lograron la solución a sistemas de ecuaciones de la forma <!--[if !vml]--><!--[endif]-->, y <!--[if !vml]--><!--[endif]-->.

MATEMÁTICAS EN GRECIA

Las matemáticas obtuvieron su mayor aporte de la cultura Greco Romana. Fue en Grecia, donde se hizo popular la creación de escuelas, en donde los grandes pensadores de la época daban resolución a los problemas más populares de álgebra, geometría y trigonometría.

Los aportes de esta cultura a las matemáticas son de enorme magnitud. Por ejemplo en el campo de la geometría, se dio la demostración del teorema de Pitágoras, además que fue hallado el método para conseguir la serie indefinida de ternas de números pitagóricos, que satisfacen la ecuación <!--[if !vml]--><!--[endif]-->.

Se trabajó enormemente en la resolución y demostración de distintos problemas, como en la trisección de un ángulo, y en la cuadratura de áreas acotadas por una curva. Esto conllevó a al avance en él cálculo del número pi y a la creación del método de exaución (predecesor del cálculo de limites), creado por Euxodo.

El avance que obtuvieron los griegos en cuanto al álgebra y la geometría, los llevó a la construcción de una nueva rama de las matemáticas, llamada, álgebra geométrica. Esta nueva rama incluía entre otros conceptos el método de anexión de áreas, el conjunto de proposiciones geométricas que interpretaban las cantidades algebraicas, y la expresión de la arista de un poliedro regular a través del diámetro de la circunferencia circunscrita.

En Grecia, no se hicieron esperar los problemas que implicaban la construcción de limites, por lo que en su época, Demócrito y otros grandes pensadores intentan darles respuesta con la unificación de las matemáticas y la teoría filosófica atomicista. Considerando de esta forma la primera concepción del método del límite.

El interés que produjeron las matemáticas en Grecia, hace que se considere como la cuna de esta ciencia. Por lo cual se bautizó a la época comprendida de los años 300 a.c y 200 a.c, como la EDAD DE ORO DE LAS MATEMÁTICAS.

EL LEGADO DE LAS MATEMÁTICAS

CÓMO SE GESTÓ Y VINO AL MUNDO EL CÁLCULO INFINITESIMAL 

Del legado de las matemáticas, el cálculo infinitesimal es, sin duda, la herramienta más potente y eficaz para el estudio de la naturaleza. El cálculo infinitesimal tiene dos caras: diferencial e integral; y un oscuro interior donde, como demonios, moran los infinitos: grandes y pequeños. Los orígenes del cálculo integral se remontan,  al mundo griego; concretamente a los cálculos de áreas y volúmenes que  Arquímedes calculó en el siglo III a.C. Aunque hubo que esperar mucho tiempo hasta el siglo XVII -¡2000 años! para que apareciera -o mejor, como Platón afirmaba para que se descubriera- el cálculo. Varias son las causas de semejante retraso. Entre ellas debemos destacar la inexistencia de un sistema de numeración adecuado - en este caso el decimal- así como del desarrollo del álgebra simbólica y la geometría analítica que permitieron el tratamiento algebraico -y no geométrico- de las curvas posibilitando enormemente los cálculos de tangentes, cuadraturas, máximos y mínimos, entre otros. Todo ello ocurrió esencialmente en el siglo XVII.

Aristóteles. Lo que hizo fue prohibir el infinito en acto «no es posible que el infinito exista como ser en acto o como una substancia y un principio», escribió, pero añadió «es claro que la negación absoluta del infinito es una hipótesis que conduce a consecuencias imposibles» de manera que el infinito «existe potencialmente [...] es por adición o división». Fue Eudoxo, discípulo de Plantón y contemporáneo  de Aristóteles quien hizo el primer uso "racional" del infinito en las matemáticas. Eudoxo postuló que «toda magnitud finita puede ser agotada mediante la sustracción de una cantidad determinada». Es el famoso principio de Arquimesas que éste toma prestado a Eudoxo y que sirvió a aquel para superar la primera crisis de las Matemáticas -debida al descubrimiento de los irracionales-. 

 De hecho Leibniz descubrió la clave de su cálculo al ver un trabajo de Pascal <!--[if !vml]--><!--[endif]-->donde éste usaba un método semejante.  Como primer libro de esta sección colocaremos, por tanto, la Opera Omnia de Arquímedes .Donde Arquímedes describe el método de sus infinitos segmentos para cuadrar la parábola usando una palanca y moviendo convenientemente los correspondientes segmentos hasta que ambas figuras, triángulo y parábola quedasen equilibradas.

Una razón importante de la aparición del cálculo fue la aparición de una adecuada representación para los números. Se trata de la representación decimal. No obstante fue la necesidad de entender obras griegas difíciles como las de Arquímedes -ya en el siglo XVII se habían recuperado y se dominaban la mayoría de las obras griegas, por ejemplo admírese la preciosa edición de las obras de Arquímedes debida a Wallis (arriba a la izquierda) justamente abierta éste da su famosa estimación de Pi usando polígonos regulares inscritos y circunscritos a la circunferencia- que desembocó en el nacimiento del cálculo. Aunque también ayudó un cambio de actitud en la matemática del siglo XVII quizá influenciada por los grandes descubrimientos de todo tipo -geográficos, científicos, médicos y tecnológicos- y fue el interés de los matemáticos por descubrir más que por dar pruebas rigurosas. Y finalmente, el descubrimiento de la Geometría analítica de Descartes y Fermat.

La primera parte del siglo XVII vio el nacimiento de la geometría analítica de Fermat y Descartes. La importancia de este descubrimiento consiste en que la geometría analítica permite el tratamiento algebraico de problemas geométricos, al asignar a las curvas, superficies, etc. fórmulas algebraicas que las describen y permiten su manipulación analítica. De esta forma encontrar tangentes, por ejemplo, se hacía extremadamente sencillo -basta saber calcular las derivadas como ahora sabemos- frente a los engorrosos y específicos para cada curva  procedimientos geométricos. 

Uno es más conocido como filósofo: Renato Descartes. Presentó su geometría junto con otros dos tratados científicos: la dióptrica y los meteoros y les preparó un prólogo que se convertiría después en uno de los libros de filosofía más conocidos de la historia: El discurso del método. El otro inventor de la geometría analítica, Pierre de Fermat, fue jurista y aficionado a las matemáticas: probablemente el mejor aficionado que ha visto la historia, sin duda superior a muchos profesionales. Se debe a Cavalieri -discípulo de Galileo-. Cavalieri considera áreas formadas por segmentos y volúmenes formados por trozos de áreas planas redescubriendo las bases metodológicas del método mecánico -y desconocido en aquella época- de Arquímedes. Cavalieri incluso fue más allá intentando construir una teoría de indivisibles que le permitiera, evitando los infinitos, demostrar rigurosamente sus resultados -cosa que no consiguió ya que el infinito en acto siempre acababa apareciendo en alguna parte-.  Las desventajas de su método de indivisibles -poca generalidad, debilidad lógica, excesivos razonamientos y procedimientos geométricos- fueron rápidamente superados por Torricelli, Fermat, Pascal Wallis y  Roberval. Otro de los protagonistas de nuestra historia es, sin duda, Grégoire de Saint-Vicent, Sus principales aportaciones las publicó en su Opus geometricum primera edición de 1647. En ella desarrolla un método de integración geométrico, estudia las series geométricas incluyendo diversas aplicaciones de las mismas discutiendo, como no. Finalmente, una de sus aportaciones más valiosas consistió en que encontró que el área encerrada bajo una hipérbola se expresaba mediante los logaritmos.

<!--[if !vml]--><!--[endif]--> John Wallis, miembro fundador de la Royal Society de Londres. Wallis aritmetizó los indivisibles de Cavalieri asignándoles valores numéricos convirtiendo de esta forma el cálculo de áreas -hasta el momento algo meramente geométrico- en cálculos aritméticos más un primitivo proceso al límite haciendo además un uso descarado del infinito -a él debemos también el símbolo que usamos actualmente, ese 8 acostado-. Es curiosa la opinión que él mismo profesaba de sus métodos: «Este procedimiento es altamente heterodoxo, pero puede verificarse mediante el bien conocido métodos de figuras inscritas y circunscritas, lo que es superfluo, porque la frecuente iteración produce náuseas al lector. Cualquier ducho en la materia puede realizar la prueba», escribió en su Arithmetica infinitorum. Usando su método aritmético, la inducción incompleta  y su intuición llegó a calcular el área de todas las parábolas generalizadas x^rcon r racional excluyendo al -1, además de una bellísima fórmula para calcular Pi

Pi = 2·2·4·4·6·6·8·8····

4      1·3·3·5·5·7·7····

El libro De Algebra tractatus correspondiente a su primera edición latina de 1693 contenido en su Operum mathematicorum.  El trabajo de Wallis influyó enormemente en Newton quien aseguró que el desarrollo del binomio y otras ideas iniciales sobre el cálculo tuvieron los orígenes en el estudio que realizó del libro de Wallis en su época de estudiante en Cambridge. El mismo Wallis propone una genealogía del cálculo:
 

<!--[if !supportLists]-->·         <!--[endif]-->Método de Exhaución (Arquímedes)    
·         Método de los indivisibles (Cavalieri)

<!--[if !supportLists]-->·         <!--[endif]-->Aritmética de los infinitos (Wallis)

<!--[if !supportLists]-->·         <!--[endif]-->Métodos de las series infinitas (Newton) 

Los métodos infinitesimales relacionados con el cálculo de tangentes, que junto al de áreas consituyeron la base del cálculo. En la parte central del siglo XVII, las cantidades infinitesimales, los fantasmas de cantidades desaparecidas, como alguien las llamó en el siglo XVIII, fueron cada vez más usadas para resolver problemas de cálculos de tangentes áreas, volúmenes, etc.; los primeros darían origen al cálculo diferencial, los otros al integral.  Como hemos mencionado <!--[if !vml]--><!--[endif]-->Saint Vincent, Pascal, Wallis,  siguieron los pasos de Kepler y Cavalieri; además de los infinitésimos cada vez usaban más fórmulas y menos <!--[if !vml]--><!--[endif]-->dibujos:

La geometría analítica cumplía su función de puente entre la geometría y el análisis. El incremento de nuevas curvas hizo imprescindible el desarrollar nuevos métodos para calcular tangentes.  Uno de ellos fue el método de igualdades de Pierre Fermat que servía además para calcular máximos y mínimos. Newton en una carta descubierta en 1934 escribió en relación con sus ideas para el desarrollo del cálculo: «La indicación me la dio el método de Fermat para las tangentes. Aplicándolo a las ecuaciones abstractas directas e inversamente, yo lo hice general». 

Sin duda Fermat fue uno de los mejores matemáticos del siglo XVII y el mejor matemático aficionado de la historia, por sus contribuciones importantes en casi todas las ramas de las matemáticas que emergieron en ese siglo. Varia opera mathematica publicada póstumamente por su hijo en 1679.

Relacionado con los problemas de tangentes surgió a mediados del XVII el llamado problema inverso de tangentes, es decir, deducir una curva a partir de las propiedades de sus tangentes. El primero en plantear un problema de este tipo fue Florimond de Beaune, discípulo de Descartes, quien planteó, entre otros, el problema de encontrar la curva consubtangente constante. El propio Descartes lo intentó sin éxito siendo Leibnitz el primero en resolverlo en la  primera publicación de la historia sobre el cálculo infinitesimal. De hecho un elemento esencial para el descubrimiento del cálculo era el reconocimiento de que el problema de las tangentes y las cuadraturas eran problemas inversos, de hecho es por eso que la relación inversa entre la derivación y la integración es lo que hoy, con toda justicia y razón, llamamos Teorema fundamental del cálculo.

 CÁLCULO.

Newton en su célebre frase «Si he llegado a ver más lejos que otros es porque me subí a hombros de gigantes» se refiere entre otros a su maestro y mentor Isaac Barrow. Barrow fue probablemente el científico que estuvo más cerca de descubrir el cálculo. Llegó a las matemáticas en su afán de comprender la teología -de hecho se marchó de su cátedra en Cambridge, cediéndosela a Newton para continuar sus estudios teológicos-.   En la lección X de su obra Letiones opticae & geometricae Barrow demuestra su versión geométrica del Teorema fundamental del cálculo. Podemos admirar el comienzo de esa lección así como la figura 109 directamente relacionada con el teorema que Barrow explica como que el valor de la pendiente de la tangente en F a VIFI se corresponde con el segmento DE, o sea, si trazamos la tangente a la curva cuadratriz  VIFI en un punto.

En el último cuarto del siglo XVII, Newton y Leibnitz, de manera independiente, sintetizaron de la maraña de métodos infinitesimales usados por sus predecesores dos conceptos, los que hoy llamamos la derivada y la integral, desarrollaron unas reglas para manipular la derivada -reglas de derivación-y mostraron que ambos conceptos eran inversos- teorema fundamental del cálculo-: acababa de nacer el cálculo infinitesimal. Para resolver todos los problemas de cuadraturas, máximos y mínimos, tangentes, centros de gravedad, etc. que habían ocupado a sus predecesores bastaba echar a andar estos dos conceptos mediante sus correspondientes reglas de cálculo

El primero en descubrirlo fue Newton gestó el cálculo en sus anni mirabilis (1665-1666) cuando se refugiaba en su casa materna de la epidemia de peste que asolaba Inglaterra. De hecho su primera obra  sobre el cálculo De analyse per aequationes numero terminorum infinitas -que le valió la cátedra lucasiana que dejó su maestro Barrow- fue finalizada en 1669 aunque sólo la publicó en 1711 donde  además el cálculo del área bajo la parábolax ^m/n usando el teorema fundamental del cálculo mediante primitivas-.  En ambas Newton explica muy someramente -básicamente se centra en el teorema del binomio-, en la primera, e incomprensiblemente, en la segunda, su método de cálculo. La segunda obra de Newton sobre el cálculo fue escrita dos años más tarde en 1671 pero esperaría hasta 1737 para ver la luz !diez años después de su muerte y 66 después de escrita!. Se trata de De methodis serierum et fluxionum.  En ella Newton describe sus conceptos de fluente -es una variable en función del tiempo- y fluxión de la fluente -la derivada respecto al tiempo de la fluente- como entidades propias, con unas reglas algorítmicas de fácil uso que luego usará para resolver distintos problemas de máximos y mínimos, tangentes, cuadraturas -en relación a este último, estableció el ya mencionado Teorema fundamental del cálculo-. Para demostrar la potencia de su cálculo Newton se dedica en unas "pocas" páginas a resolver todos los problemas de cálculo de tangentes, áreas, que habían ocupado a sus predecesores. En la figura de la izquierda podemos admirar una página de dicho libro, abierto por la página donde Newton "destroza" la concoide de Nicómedes con su nuevo método de cálculo. Newton era consciente de la débil fundamentación lógica de su método de cálculo de fluxiones -no obstante siempre hubo copias de sus trabajos circulando entre sus amigos-. Este temor también está patente en su obra cumbre: Los Principia, donde optó por un lenguaje geométrico más riguroso -y obscuro- eliminando todo indicio de su cálculo que probablemente usó -se puede encontrar una única mención del mismo en el lema II de la sección II del libro II: la regla para derivar productos-.

Leibnitz, más conocido como filósofo, fue el otro inventor del cálculo. Su descubrimiento fue posterior al de Newton, aunque Leibnitz fue el primero en publicar el invento. Lo hizo además usando una vía ciertamente novedosa en aquella época: para facilitar la difusión de sus resultados los publicó en una de las recién creadas revistas científico filosóficas el Acta Eroditorum que el mismo había ayudado a fundar -eran ciertamente momentos importantes para la ciencia donde empezaron a aparecer las revistas científicas que permitirían luego y hasta nuestro días la difusión del conocimiento y los descubrimientos científicos-. Leibnitz se convence que los problemas inversos de tangentes y los de cuadraturas eran equivalentes. Alejándose de estos problemas, a partir de sumas y diferencias de sucesiones comienza a desarrollar toda una teoría de sumas y diferencias infinitesimales que acabarían en la gestación de su cálculo por el año 1680 y a diferencia de Newton si lo publica en las mencionadas Actas con el título "Un nuevo método para los máximos y los mínimos, así como para las tangentes, que no se detiene ante cantidades fraccionarias o irracionales, y es un singular género de cálculo para estos problemas". También el él Leibnitz resuelve el ya mencionado problema de  Benuase  encontrando que la solución era el logaritmo. El siguiente artículo de Leibnitz se llamó "Sobre una geometría altamente oculta y el análisis de los indivisibles e infinitos. En él aparece por primera vez la notación para la integral que todavía hoy usamos –en primero introduce la notación "dx" para el diferencial-. Encima a la derecha podemos admirar este trabajo aunque por razones tipográficas en vez de la S alargada para la integral aparece una especie <!--[if !vml]--><!--[endif]-->de f.

 Las suspicacias entre Newton y Leibnitz y sus respectivos seguidores, primero sobre quién había descubierto antes el cálculo y, después, sobre si uno lo había copiado del otro, acabaron estallando en un conflicto de prioridad que amargó los últimos años de ambos genios. Para los métodos de ambos genios tienen importantes diferencias conceptuales que indican claramente la génesis independiente de los mismos. Newton consideraba las curvas generadas por el movimiento continuo de un punto basándose su cálculo diferencial en la medida de la variación de la misma -de su fluir- mientras que Leibnitz consideraba una curva como formada por segmentos de longitud infinitesimal cuya prolongación generaba la tangente en cada punto y de cuya geometría se obtiene la correspondiente relación entre las diferenciales. Incluso la fundamentación de ambos métodos es totalmente distinta. La polémica en cuestión se fraguó a finales del siglo XVII: por un lado Leibnitz no había hecho ninguna alusión al cálculo infinitesimal de Newton -que el mismo Newton le había indicado que existían en sus Epistolae.

La respuesta de los seguidores de Newton no se hace esperar. Primero el propio Newton hace publicar en el tercer volumen de las obras matemáticas de Wallis , la correspondencia cursada con Leibnitz las Epistolae prior & posterior donde este pedía a Newton le enviase resultados sobre series, luego Fatio de Duillier, amigo de Newton, acusa a Leibnitz de haber plagiado a Newton y como no, en su ya mencionada De quadratura curvarum, Newton alega «En una carta escrita a Sr. Leibnitz en 1676 y publicada por Wallis, mencionaba un método por el cual había encontrado algunos teoremas generales acerca de la cuadratura de figuras curvilíneas. Hace años yo presté un manuscrito conteniendo tales teoremas; y habiéndome encontrado desde entonces con varias cosas copiadas de él, lo hago público en esta ocasión ». La respuesta de Leibnitz no se hizo esperar.
En una reseña del De quadratura curvarum, publicada anónimamente -aunque era fácil reconocer a su autor: Leibnitz- en 1705 en las Actas se dice «Para entender mejor este libro los siguientes hechos deben ser conocidos. Cuando una cantidad varía continuamente como, por ejemplo, una línea varía por el fluir de un punto que la describe, aquellos incrementos momentáneos son llamados diferencias. Y por tanto ha aparecido el cálculo diferencial y su converso, el cálculo sumatorio.Luego de varias deliberaciones dictaminó que Newton fue el primero y no acusó a Leibnitz . 

De las matemáticas al cálculo formulas y teoremas

                         El Teorema del Binomio.

    La serie del binomio fue descubierta por Newton el invierno de 1664. Aparece expuesta en dos cartas, la Epistola prior de Junio de 1676
y la Epistola posteri

(P+PQ)m/n= P m/n+  m n AQ+  m-n 2n BQ+  m-2n 3n CQ+  m-3n 4n DQ+  <!--[if !vml]--><!--[endif]-->

donde A, B , C, ... son los términos inmediatos que les preceden en el desarrollo".

<!--[if !vml]--><!--[endif]-->

    Expresado de esta forma suena poco familiar, Newton quiere decir que toma

A = P m/n B =    m n AQ =   m n P m/n Q  C =   m-n 2n BQ=   m-n 2n (   m n P m /n Q ) Q =  (   m n ) (   m n -1 ) 2 P m /n Q 2 D =    m-2n 3n CQ=   m n (   m n -1 ) (  m n -2 ) 3 x 2 P m/n Q 2 ...

y así sucesivamente.

 dividiendo por P ^m/n

(1+Q )m/n=1+  m n Q+  (  m n ) (  m n -1 ) 2 Q 2+   m n (  m n -1 ) (  m n -2 ) 2 x 3 Q 2+  <!--[if !vml]--><!--[endif]-->

es la expresión más familiar que usamos ahora. Aunque el binomio para enteros positivos era conocido desde hacía tiempo, el interés del descubrimiento de Newton está en que lo usa para exponentes fraccionarios y negativos y en que aparece una suma infinita en vez del desarrollo finito.

Descubrimiento de las series de sin X  y cos  X

      A partir de su binomio, Newton encuentra también series trigonométricas. Si consideramos la circunferencia de radio 1, de acuerdo con
la figura
 

Es x=AQ=sin q,    esto es, q=  arcsinx , de manera que

q = 2 ·área(OQR)=2 ·[área(ORQB)-área(OQB)] =

Cálculo de Newton del número p

Aparece en su "Methodus Fluxiorum et Serierum Infinitorum," 1671. Newton considera la circunferencia de centro (1/2,0) y radio 1/2

( x-  1 2 )2+y 2=  1 4

de donde despejando y en función de x y usando el desarrollo del binomio

y=x 1/2(1-x)1/2=x 1/2 ( 1-  x  2 -  x 2 8 -   x 3 16 -  5 128 x 4-  7 256 x 5-  <!--[if !vml]--><!--[endif]--> ) <!--[if !vml]--><!--[endif]-->=

= x 1/2-  1 2 x 3/2-  1 8 x 5/2-  5 128 x 9/2-  7 256 x 11/2-  <!--[if !vml]--><!--[endif]-->

Calcula entonces el área debajo de la curva integrando término a término

A( x)=  2 3 x 3/2-  1 5 x 5/2-  1 28 x 7/2-  1 72 x 9/2-  5 704 x 11/2-  <!--[if !vml]--><!--[endif]-->

Luego para x=1/4, el área de la región ADB es igual a

área (ADB)=  1 12 -  1 160 -  1 3584 -  1 36864 -  5 1441792 -  <!--[if !vml]--><!--[endif]--> = 0.076663

  Calcula luego la misma área por geometría, ya que

área (ADB)= área(sector ACD)-área(triángulo DBC)

    Para evaluar esta última relación calcula primero
                               <!--[if !vml]--><!--[endif]-->Actualidad del cálculo

En la actualidad, el cálculo en su sentido más general, en tanto que cálculo lógico interpretado matemáticamente como sistema binario, y físicamente hecho material mediante la lógica de circuitos electrónicos, ha adquirido una dimensión y desarrollo impresionante por la potencia de cálculo conseguida por los ordenadores, propiamente máquinas computadoras. La capacidad y velocidad de cálculo de estas máquinas hace lo que humanamente sería imposible: millones de operaciones por segundo,

El cálculo así utilizado se convierte en un instrumento fundamental de la investigación científica por las posibilidades que ofrece para la modelización de las teorias científicas, adquiriendo especial relevancia en ello el calculo numérico.

Al aplicar las reglas de este cálculo lógico a los enunciados que forman un argumento mediante la simbolización adecuada de fórmulas o expresiones bien formadas (EBFS) construimos un modelo o sistema deductivo.

Un lenguaje formal que sirva de base para el cálculo lógico está formado por varias clases de entidades:

<!--[if !supportLists]-->1.      <!--[endif]-->Un conjunto de elementos primitivos. Dichos elementos pueden establecerse por enumeración, o definidos por una propiedad tal que permita discernir sin duda alguna cuándo un elemento pertenece o no pertenece al sistema.

<!--[if !supportLists]-->2.      <!--[endif]-->Un conjunto de reglas de formación de “expresiones bien formadas”(EBFs) que permitan en todo momento establecer, sin forma de duda, cuándo una expresión pertenece al sistema y cuándo no.

<!--[if !supportLists]-->3.      <!--[endif]-->Un conjunto de reglas de transformación de expresiones, mediante las cuales partiendo de una expresión bien formada del cálculo podremos obtener una nueva expresión equivalente y bien formada que pertenece al cálculo.

Cuando en un cálculo así definido se establecen algunas expresiones determinadas como verdades primitivas o axionomas, decimos que es un sistema formal axiomático. Un cálculo así definido si cumple al mismo tiempo estas tres condiciones decimos que es un Cálculo Perfecto:

<!--[if !supportLists]-->1.      <!--[endif]-->Es consistente: No es posible que dada una expresión bien formada del sistema,  <!--[if !vml]--><!--[endif]-->, y su negación,  <!--[if !vml]--><!--[endif]-->, sean ambas teoremas del sistema. No puede haber contradicción entre las expresiones del sistema.

<!--[if !supportLists]-->2.      <!--[endif]-->Decidible: Dada cualquier expresión bien formada del sistema podemos encontrar un método que nos permita decidir mediante una serie finita de operaciones si dicha expresión es o no es un teorema del sistema.

<!--[if !supportLists]-->3.      <!--[endif]-->Completo: Cuando dada cualquier expresión bien formada del sistema, podemos establecer la demostración atómica o prueba de que es un teorema del sistema.

El lenguaje natural como modelo de un cálculo lógico

Naturalmente el cálculo lógico es útil porque puede tener aplicaciones, pero ¿en qué consisten o cómo se hacen tales aplicaciones?

Podemos considerar que el lenguaje natural es un modelo de C si podemos someterlo, es decir, aplicarle una correspondencia en C .

Para ello es necesario someter al lenguaje natural a un proceso deformalizacion de tal forma que podamos reducir las expresiones lingüísticas del lenguaje natural a EBFs de un cálculo mediante reglas estrictas manteniendo el sentido de verdad lógica de dichas expresiones del lenguaje natural. Esto es lo que se expone en calculo lógico.

Las diversas formas en que tratemos las expresiones lingüísticas formalizadas como preposiciones lógicas dan lugar a sistemas diversos de formalización y cálculo:

<!--[if !supportLists]-->·         <!--[endif]-->Cálculo proposicional o cálculo de enunciados

Cuando se toma la oración simple significativa del lenguaje natural con posible valor de verdad o falsedad como una propósito atómico, como un todo sin analizar.

<!--[if !supportLists]-->·         <!--[endif]-->Cálculo como lógica de clases

Cuando se toma la oración simple significativa del lenguaje natural con posible valor de verdad o falsedad como resultado del análisis de la oración como una relación de individuos o posibles individuos que poseen o no poseen una propiedad común determinada como pertenecientes o no pertenecientes a una clase natural  o a un conjunto como individuos.

<!--[if !supportLists]-->·         <!--[endif]-->Cálculo de predicados o cuantificacional

Cuando se toma la oración simple significativa del lenguaje natural con posible valor de verdad o falsedad como resultado del análisis de la misma de forma que una posible función predicativa (P), se predica de unos posibles sujetos variables (x ) [tomados en toda su posible extensión: (Todos los x); o referente a algunos indeterminados: (algunos x )], o de una constante individual existente (a).

<!--[if !supportLists]-->·         <!--[endif]-->Cálculo como lógica de relaciones

Cuando se toma la oración simple significativa con posible valor de verdad propio, verdad o  falso, como resultado del análisis de la oración como una relación "R" que se establece entre un sujeto y un predicado.La simbolización y formación de EBFs en cada uno de esos cálculos, así como las reglas de cálculo se trata en calculo lógico

Personajes en la historia del cálculo

1. Personajes en la Historia del Cálculo:

ARQUÍMEDES Fue uno de los matemáticos más grandes de la antigüedad. Usó el método de Exhaución para calcular el área  bajo el arco de una parábola  con la sumatoria de una serie infinita. Dio una aproximación extremadamente precisa del  número Pi .  Definió la  espiral que lleva su nombre , fórmulas para los volúmenes  de las  superficies de revolución  y un ingenioso sistema para expresar números muy largos.

Pitágoras (c. 582-c. 500 a.C.), Vivió inmediatamente después de Tales. Fundó la escuela pitagórica (Sur de Italia), organización que se guiaba por el amor a la sabiduría y en especial a las Matemáticas y a la Música.Después el pueblo se rebeló contra ellos y quemó su sede. Algunos dicen que el propio Pitágoras murió en el incendio. Otros, que huyó y, desencantado, se dejó morir de hambre. Además de formular el teorema que lleva su nombre, inventó una tabla de multiplicar y estudió la relación entre la música y las matemáticas.A partir de la Edad Media, el teorema de Pitágoras fue considerado como el "pon asinorum", el puente de los asnos, es decir, el conocimiento que separaba a las personas cultas de las incultas.

ARISTÓTELES (384-322 a.C.), filósofo y científico griego, es uno de los filósofos más destacados de la antigüedad. Escribió entre otros ensayos, un resumen de las doctrinas de Pitágoras; del que han sobrevivido pocos extractos. Estos textos se basan en gran parte en las anotaciones recopiladas y ordenadas por sus editores posteriores. Entre ellos están los tratados de lógica llamados Organon('instrumento'), ya que proporcionan los medios con los que se ha de alcanzar el conocimiento positivo.En lógica, desarrolló reglas para establecer un razonamiento encadenado que, si se respetaban y si la reflexión partía de premisas verdaderas (reglas de validez ),no producirían falsas conclusiones ). En el razonamiento, los nexos básicos eran los silogismos: proposiciones emparejadas que  en su conjunto, proporcionaban una nueva conclusión

FERMAT (1601 – 1665) Co-fundador de la teoría de probabilidades junto a Blaise Pascal  e independientemente de Descartes. Descubrió el principio fundamental de la geometría analítica.  Sin embargo, es más conocido por sus aportaciones a la teoría de números. Conocido sobre todo por el “último teorema de Fermat, que preocupó a los matemáticos durante aproximadamente 350 años.

BARROW:  (1630 – 1677) Primero en calcular las tangentes en la curva de Kappa. Inició en cierta manera el Cálculo Moderno  

Rene Descartès :En 1635 el matemático y filósofo francés René Descartes publicó un libro sobre la teoría de ecuaciones, incluyendo su regla de los signos para saber el número de raíces positivas y negativas de una ecuación. Unas cuantas décadas más tarde, el físico y matemático inglés Isaac Newton descubrió un método iterativo para encontrar las raíces de ecuaciones. Hoy se denomina método Newton-Raphson, y el método iterativo de Herón mencionado más arriba es un caso particular de éste.Tuvo la inspiración para sus estudios de Matemáticas en tres sueños en la noche del 10 de Noviembre de 1619. Creó una nueva rama de las Matemáticas, la geometría analítica. Introdujo el sistema de referencia que actualmente conocemos como coordenadas cartesianas. Este nombre deriva de la forma latina de su apellido: Cartesius. Fue el pensador más capaz de su época , pero en el fondo no era realmente un matemático.

NEWTON (1642 – 1727) Los trabajos sobre la naturaleza de la luz de la óptica fueron aportes en la Física. Comparte con Leibniz  el crédito por el desarrollo del cálculo integral y diferencial que utilizó para formular sus leyes de la física. Desarrolló el  teorema del binomio. 

Gottfried Wilhelm Leibniz 1646 en Leipzig Escribió un manuscrito usando por primera vez la anotación y da la regla de la diferenciación de un producto. En el otoño de 1676 descubre el diferencial de la potencia: para n entero y fraccionario. 

RIEMANN (1826 – 1866)   Su nombre está asociado con la  función zeta, la Integral de Riemann, el Lema de Rienman, Las varieddes de Rienmann. Las superficies y la geometría de Rienmann.